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I poligoni regolari: area, apotema e perimetro

All’interno dell’insieme dei poligoni, particolare importanza ha la categoria dei poligoni regolari. Questi poligoni sono particolarmente semplici da studiare; la loro struttura è completamente determinata dal numero di lati che essi hanno, e dalla misura di uno (e cioè, di ciascuno) di essi.

 

Definizione

Un poligono con nn lati è detto poligono regolare se è equiangolo ed equilatero, ovvero, se tutti i suoi angoli interni sono congruenti e se tutti i suoi lati sono congruenti.
Dato che tutte le misure dei suoi lati sono uguali, ci riferiremo solo al “lato” del poligono (e lo indicheremo con ll).

Tra i poligoni regolari più comuni, troviamo il triangolo equilatero e il quadrato. Nei problemi di geometria (ma anche nella vita quotidiana) troviamo spesso anche le forme del pentagono regolare, dell’esagono regolare e dell’ottagono regolare.

Ciascun poligono regolare ammette una circonferenza circoscritta e una circonferenza inscritta, che hanno il medesimo centro: questo punto viene spesso chiamato centro del poligono regolare.

 

Definizione

Il raggio della circonferenza inscritta a un poligono regolare è detto anche apotema del poligono. In genere viene indicato con la lettera aa. Pertanto, l’apotema è un segmento perpendicolare a un lato del poligono, che ha come estremo il centro del poligono stesso. 
Il rapporto f=alf = \frac{a}{l} dove ll è il lato del poligono, è chiamato numero fisso del poligono regolare, e dipende soltanto dal numero di lati del poligono considerato.

A partire dal numero fisso per un poligono di nn lati, si può ricavare un’altra costante chiamata costante d’area: φ:=nf2\varphi := \frac{nf}{2} Anch’essa dipende soltanto dal numero di lati del poligono considerato.
Come si può vedere nel formulario riportato più in basso, la costante d’area serve a esprimere l’area del poligono in termini del solo lato.

Riportiamo in una tabella il valore dei numeri fissi e delle costanti d’area per i poligoni regolari con meno di 10 lati:

Numero di lati Numero fisso ff Costante d'area φ\varphi
3 0.28867 0.43301
4 0.5 1
5 0.68819 1.72047
6 0.86602 2.59807
7 1.03826 3.63391
8 1.20710 4.82842
9 1.37373 6.18182
10 1.53884 7.69420


 

Formule per un poligono regolare

Esistono molte formule che si possono applicare a un qualsiasi poligono regolare di nn lati per ricavare alcune grandezze a esso relative. Se il lato del poligono misura ll, abbiamo:

Perimetro: 2p=nl2p = n \cdot l.

Area: abbiamo a disposizione alcune formule, a seconda di cosa conosciamo; per esempio:

A=12nla=122pa=l2φ A = \frac{1}{2}nla = \frac{1}{2} 2p \cdot a = l^2 \cdot \varphi oppure, utilizzando le funzioni trigonometriche: A=14nl2cot(πn)=na2tan(πn).A =\frac{1}{4}nl^2 \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) = n a^2 \tan \left (\frac{\pi}{n} \right ).

Angoli interni: dato che la somma degli angoli interni in un poligono di nn lati è pari a π(n2)\pi(n-2) radianti, o 180(n2)180(n-2) gradi, allora ciascun angolo interno misura πn(n2)\frac{\pi}{n}(n-2) radianti, o 180n(n2)\frac{180}{n}(n-2) gradi.

Aggiungiamo che, conoscendo il valore del numero fisso ff è possibile ricavare la misura dell’apotema a partire dal lato del poligono, e viceversa (utilizzando “all’inverso” la definizione di numero fisso).

 

Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino